KETERBAGIAN BILANGAN BULAT
Pendahuluan
Bahasan utama dalam teori bilangan adalah tentang
bilangan-bilangan bulat
positif. Tetapi teori yang terlibat tidak terbatas pada bilangan-bilangan bulat positif, atau
bahkan terbatas pada bilangan-bilangan bulat. Mungkin saja suatu hasil tentang bilanganbilangan
bulat diperoleh dari teori bilangan-bilangan kompleks atau dari teori turunan
suatu fungsi.
Teori bilangan berpijak pada hasil-hasil pembuktian dari berbagai ide dan metoda.
Dua di antara hasil-hasil ini memerlukan perhatian khusus. Hasil pertama adalah, setiap
himpunan tak kosong dari bilangan-bilangan bulat memuat unsur terkecil. Hasil yang
kedua adalah induksi matematis. Hasil yang kedua ini merupakan akibat dari hasil yang
pertama.
Para pembaca dianggap sudah cukup menguasai perumusan berbagai pernyataan
matematis. Sebagai contoh, para pembaca sudah mengetahui bahwa untuk setiap pasang
pernyataan matematis A dan B, pernyataan-pernyataan matematis berikut ekuivalen:
“Jika A maka B”,
“Dari A diturunkan B”,
“Jika A benar, maka B benar”
“A adalah syarat cukup untuk B”
“B adalah syarat perlu untuk A”.
Semua pernyataan ini lazim ditulis dengan lambang
A ⇒B.
Jika dari A bisa diturunkan B dan dari B bisa diturunkan A, kita mengatakan A adalah
syarat cukup dan perlu untuk B dan hal ini lazim ditulis dengan lambang
A ⇔ B
dan diucapkan ‘A jika dan hanya jika B’.
Demikian pula, kata ‘jika’ dalam suatu definisi - seperti dalam Definisi 1.1 di bagian
mendatang - seringkali bermakna ‘jika dan hanya jika’ (disingkat ‘jhj’).
2
Lebih jauh, banyak pernyataan matematis yang bisa dinyatakan dengan lambanglambang
baku. Sebagai contoh, karena Z adalah lambang baku untuk himpunan semua
bilangan-bilangan bulat, pernyataan matematis
“z adalah bilangan bulat”
bisa dinyatakan secara singkat dengan lambang
‘z ∈ Z”.
Demikian pula, beberapa pernyatan baku terkait dengan Q (himpunan semua bilangan
rasional) dan R (himpunan semua bilangan real).
positif. Tetapi teori yang terlibat tidak terbatas pada bilangan-bilangan bulat positif, atau
bahkan terbatas pada bilangan-bilangan bulat. Mungkin saja suatu hasil tentang bilanganbilangan
bulat diperoleh dari teori bilangan-bilangan kompleks atau dari teori turunan
suatu fungsi.
Teori bilangan berpijak pada hasil-hasil pembuktian dari berbagai ide dan metoda.
Dua di antara hasil-hasil ini memerlukan perhatian khusus. Hasil pertama adalah, setiap
himpunan tak kosong dari bilangan-bilangan bulat memuat unsur terkecil. Hasil yang
kedua adalah induksi matematis. Hasil yang kedua ini merupakan akibat dari hasil yang
pertama.
Para pembaca dianggap sudah cukup menguasai perumusan berbagai pernyataan
matematis. Sebagai contoh, para pembaca sudah mengetahui bahwa untuk setiap pasang
pernyataan matematis A dan B, pernyataan-pernyataan matematis berikut ekuivalen:
“Jika A maka B”,
“Dari A diturunkan B”,
“Jika A benar, maka B benar”
“A adalah syarat cukup untuk B”
“B adalah syarat perlu untuk A”.
Semua pernyataan ini lazim ditulis dengan lambang
A ⇒B.
Jika dari A bisa diturunkan B dan dari B bisa diturunkan A, kita mengatakan A adalah
syarat cukup dan perlu untuk B dan hal ini lazim ditulis dengan lambang
A ⇔ B
dan diucapkan ‘A jika dan hanya jika B’.
Demikian pula, kata ‘jika’ dalam suatu definisi - seperti dalam Definisi 1.1 di bagian
mendatang - seringkali bermakna ‘jika dan hanya jika’ (disingkat ‘jhj’).
2
Lebih jauh, banyak pernyataan matematis yang bisa dinyatakan dengan lambanglambang
baku. Sebagai contoh, karena Z adalah lambang baku untuk himpunan semua
bilangan-bilangan bulat, pernyataan matematis
“z adalah bilangan bulat”
bisa dinyatakan secara singkat dengan lambang
‘z ∈ Z”.
Demikian pula, beberapa pernyatan baku terkait dengan Q (himpunan semua bilangan
rasional) dan R (himpunan semua bilangan real).
Definisi 1.1
Bilangan b ∈ Z habis dibagi bilangan bulat a ≠ 0, ditulis a|b; jika terdapat bilangan
x ∈ Z sedemikian rupa sehingga b = ax.
Ungkapan lain untuk menyatakan a|b adalah ‘a habis membagi b’, ‘a adalah pembagi b’
dan ‘b adalah kelipatan a’. Jika a tidak membagi b, yaitu jika pernyataan a|b adalah salah,
kita menulis
a∤b.
Perhatikan, untuk setiap bilangan bulat a berlaku a|0.
1. Teorema 1.1.
Jika a,b,c ∈ Z, maka pernyatan-pernyataan berikut berlaku:
a│b ⇒ a│c
Misalkan a |b, artinya terdapat x ∈ Z. sedemikian sehingga b=ax. Karena b=ax, maka bc=acx. Dalam hal ini, terdapat c x ∈ Z. sedemikian sehingga bc=acx artinya a |bc.
a│b &b│c ⇒ a│c
Misalkan a|b, artinya terdapat x ∈ Z sedemikian sehingga b=ax……(1)
Misalkan a|b, artinya terdapat y ∈ Z. sedemikian sehingga c=by……(2)
Karena b=ax dan c=by, maka dengan mensubtitusi nilai b=ax pada persamaan (1) ke persamaan (2) diperoleh c=axy. Dalam hal ini, terdapat x y ∈ Z. sedemikian sehingga c=axy artinya a│c.
a│b & a│c ⇒ a│(bx+cy), untuk setiap x,y ∈ Z
BUKTI 1:
Misalkan a |b, artinya terdapat y ∈ Z. sedemikian sehingga b=ay. Karena b=ay, maka b/y=a………(1)
Misalkan b |c, artinya terdapat x∈ Z. sedemikian sehingga c=bx. Karena c=bx , maka c/x=a………(2)
Dengan menjumlahkan persamaan (1) dan persamaan (2) diperoleh:
b/y + c/x=2a
(bx+cy )/xy = 2 a
bx+cy = a 2xy
Dalam hal ini, karena 2 x y ∈ Z, sedemikian sehingga bx+cy = a 2xy artinya a│(bx+cy).
BUKTI 2:
Misalkan a|b, artinya terdapat x ∈ Z sedemikian sehingga b=ax. . Karena b=ax, maka bx=ax^2………(1)
Misalkan a|c, artinya terdapat y ∈ Z sedemikian sehingga c=ay. . Karena c=ay, maka cy=ay^2………(2)
Bilangan b ∈ Z habis dibagi bilangan bulat a ≠ 0, ditulis a|b; jika terdapat bilangan
x ∈ Z sedemikian rupa sehingga b = ax.
Ungkapan lain untuk menyatakan a|b adalah ‘a habis membagi b’, ‘a adalah pembagi b’
dan ‘b adalah kelipatan a’. Jika a tidak membagi b, yaitu jika pernyataan a|b adalah salah,
kita menulis
a∤b.
Perhatikan, untuk setiap bilangan bulat a berlaku a|0.
1. Teorema 1.1.
Jika a,b,c ∈ Z, maka pernyatan-pernyataan berikut berlaku:
a│b ⇒ a│c
Misalkan a |b, artinya terdapat x ∈ Z. sedemikian sehingga b=ax. Karena b=ax, maka bc=acx. Dalam hal ini, terdapat c x ∈ Z. sedemikian sehingga bc=acx artinya a |bc.
a│b &b│c ⇒ a│c
Misalkan a|b, artinya terdapat x ∈ Z sedemikian sehingga b=ax……(1)
Misalkan a|b, artinya terdapat y ∈ Z. sedemikian sehingga c=by……(2)
Karena b=ax dan c=by, maka dengan mensubtitusi nilai b=ax pada persamaan (1) ke persamaan (2) diperoleh c=axy. Dalam hal ini, terdapat x y ∈ Z. sedemikian sehingga c=axy artinya a│c.
a│b & a│c ⇒ a│(bx+cy), untuk setiap x,y ∈ Z
BUKTI 1:
Misalkan a |b, artinya terdapat y ∈ Z. sedemikian sehingga b=ay. Karena b=ay, maka b/y=a………(1)
Misalkan b |c, artinya terdapat x∈ Z. sedemikian sehingga c=bx. Karena c=bx , maka c/x=a………(2)
Dengan menjumlahkan persamaan (1) dan persamaan (2) diperoleh:
b/y + c/x=2a
(bx+cy )/xy = 2 a
bx+cy = a 2xy
Dalam hal ini, karena 2 x y ∈ Z, sedemikian sehingga bx+cy = a 2xy artinya a│(bx+cy).
BUKTI 2:
Misalkan a|b, artinya terdapat x ∈ Z sedemikian sehingga b=ax. . Karena b=ax, maka bx=ax^2………(1)
Misalkan a|c, artinya terdapat y ∈ Z sedemikian sehingga c=ay. . Karena c=ay, maka cy=ay^2………(2)
Dengan menjumlahkan persamaan (1) dan persamaan (2)
diperoleh:
bx + cy=ax^2+ay^2
bx + cy=a〖(x〗^2+y^2)
Dalam hal ini, karena 〖(x〗^2+y^2) ∈ Z, sedemikian sehingga bx + cy=a〖(x〗^2+y^2)
artinya a│(bx+cy).
bx + cy=ax^2+ay^2
bx + cy=a〖(x〗^2+y^2)
Dalam hal ini, karena 〖(x〗^2+y^2) ∈ Z, sedemikian sehingga bx + cy=a〖(x〗^2+y^2)
artinya a│(bx+cy).
a|b & b|a ⇒ a = ±b.
Misalkan a |b, artinya terdapat x ∈ Z. sedemikian sehingga b=ax…………..(1)
Misalkan b |a, artinya terdapat y ∈ Z. sedemikian sehingga a=by…………..(2)
Dengan mensubtitusi persamaan (1) ke persamaan (2) diperoleh:
a = axy
a-axy = 0
a(1-xy) = 0
Misalkan a |b, artinya terdapat x ∈ Z. sedemikian sehingga b=ax…………..(1)
Misalkan b |a, artinya terdapat y ∈ Z. sedemikian sehingga a=by…………..(2)
Dengan mensubtitusi persamaan (1) ke persamaan (2) diperoleh:
a = axy
a-axy = 0
a(1-xy) = 0
Jika a = 0, maka diperoleh a = b = 0.
Jika a ¹ 0, maka
1 – xy = 0
xy = 1
sehingga x, y = ± 1 dan a = by = ± b.
a|b & a > 0 & b > 0 ⇒ a ≤ b.
Misalkan a|b, artinya terdapat x ∈ Z sedemikian sehingga b=ax. Karena b = ax maka |b| = |ax| ≥ |a| sehingga, |a| ≤ |b| atau a≤b.
Jika a ¹ 0, maka
1 – xy = 0
xy = 1
sehingga x, y = ± 1 dan a = by = ± b.
a|b & a > 0 & b > 0 ⇒ a ≤ b.
Misalkan a|b, artinya terdapat x ∈ Z sedemikian sehingga b=ax. Karena b = ax maka |b| = |ax| ≥ |a| sehingga, |a| ≤ |b| atau a≤b.
2. Teorema 1.2. Teorema Algoritma Pembagian
Untuk setiap pasangan a, b ∈ Z dengan a > 0, terdapat pasangan q, r ∈ Z dengan
b = qa + r dan 0 ≤ r <a. Jika a∤b, maka r memenuhi ketaksamaan murni 0 < r < a.
Untuk setiap pasangan a, b ∈ Z dengan a > 0, terdapat pasangan q, r ∈ Z dengan
b = qa + r dan 0 ≤ r <a. Jika a∤b, maka r memenuhi ketaksamaan murni 0 < r < a.
Bukti.
Misalkan terdapat barisan aritmatika tak hingga dengan bilangan pembeda a > 0 berikut:
Misalkan terdapat barisan aritmatika tak hingga dengan bilangan pembeda a > 0 berikut:
…, b − 3a, b − 2a, b − a, b, b + a, b + 2a, b + 3a,
… .
Kasus I: Ada suku yang bernilai nol.
Misalkan b+ka=0 untuk suatu k∈ Z. Karena b+ka=0, maka b=-ka+0. Sehingga 0≤0≤a……(1)
Kasus II: Semua suku tidak nol.
Misalkan b+ka≠0 untuk suatu k∈ Z. Pilih bilangan bulat positif terkecil.
Misalkan r=b+ka adalah bilangan bulat positif terkecil untuk k∈ Z.
r=b+ka
r-a=b+ka-a
r-a=b+(k-1)a
Misalkan b+ka=0 untuk suatu k∈ Z. Karena b+ka=0, maka b=-ka+0. Sehingga 0≤0≤a……(1)
Kasus II: Semua suku tidak nol.
Misalkan b+ka≠0 untuk suatu k∈ Z. Pilih bilangan bulat positif terkecil.
Misalkan r=b+ka adalah bilangan bulat positif terkecil untuk k∈ Z.
r=b+ka
r-a=b+ka-a
r-a=b+(k-1)a
3. Teorema 1
Jika g = (b, c), maka terdapat bilangan bulat x0 dan y0 sedemikian rupa sehingga g = bx0 + cy0.
Jika g = (b, c), maka terdapat bilangan bulat x0 dan y0 sedemikian rupa sehingga g = bx0 + cy0.
Bukti:
Pandang himpunan
H = {bx + cy ∈Z | x, y ∈ Z}
yang berisi bilangan-bilangan bulat positif dan negatif. Pilih x0, y0 ∈Z sedemikian rupa sehingga l = bx0 + cy0 adalah bilangan positif terkecil dalam H. Pertama kali dibuktikan bahwa l adalah pembagi persekutuan b dan c. Dalam hal ini, hanya dibuktikan l|b (sebab pembuktian l|c dikerjakan dengan cara yang analog).
Andaikan l∤b. Menurut bagian kedua dari Teorema 1.2, terdapat bilangan q, r ∈Z dengan b = lq + r dan 0 < r < l. Jadi
r = b − lq = b − (bx0 + cy0)q = b(1 − qx0) + c(−qy0)
dan ini membuktikan r ∈ H dengan 0 < r < l. Hal ini kontradiksi dengan ketentuan bahwa l adalah bilangan positif terkecil dalam H. Karena timbul kontradiksi, pengandaian l∤b harus diingkari menjadi l|b.
Karena g = (b, c), terdapat B, C ∈Z sedemikian rupa sehingga b = gB dan c = gC. Sebagai akibatnya, l = bx0 + cy0 = g(Bx0 + Cy0). Jadi g|l sehingga menurut bagian 5 dari Teorema 1.1, g ≤ l. Dari lain pihak, karena g = (b, c), l|b dan l|c, disimpulkan l ≤ g. Ini berarti g = l = bx0 + cy0.
Pandang himpunan
H = {bx + cy ∈Z | x, y ∈ Z}
yang berisi bilangan-bilangan bulat positif dan negatif. Pilih x0, y0 ∈Z sedemikian rupa sehingga l = bx0 + cy0 adalah bilangan positif terkecil dalam H. Pertama kali dibuktikan bahwa l adalah pembagi persekutuan b dan c. Dalam hal ini, hanya dibuktikan l|b (sebab pembuktian l|c dikerjakan dengan cara yang analog).
Andaikan l∤b. Menurut bagian kedua dari Teorema 1.2, terdapat bilangan q, r ∈Z dengan b = lq + r dan 0 < r < l. Jadi
r = b − lq = b − (bx0 + cy0)q = b(1 − qx0) + c(−qy0)
dan ini membuktikan r ∈ H dengan 0 < r < l. Hal ini kontradiksi dengan ketentuan bahwa l adalah bilangan positif terkecil dalam H. Karena timbul kontradiksi, pengandaian l∤b harus diingkari menjadi l|b.
Karena g = (b, c), terdapat B, C ∈Z sedemikian rupa sehingga b = gB dan c = gC. Sebagai akibatnya, l = bx0 + cy0 = g(Bx0 + Cy0). Jadi g|l sehingga menurut bagian 5 dari Teorema 1.1, g ≤ l. Dari lain pihak, karena g = (b, c), l|b dan l|c, disimpulkan l ≤ g. Ini berarti g = l = bx0 + cy0.
4. Teorema 1.4.
Misalkan g, b, c ∈ Z dengan g ≥ 0. Ketiga pernyataan berikut ekuivalen:
(1) g = (b, c);
(2) g adalah bilangan positif terkecil dalam H = {bx + cy ∈ Z | x, y ∈ Z};
(3) Untuk setiap a ∈ Z, jika a|b dan a|c, maka a|g.
Bukti:
(1) ⇔ (2) adalah bagian dari bukti Teorema 1.3. yaitu g=bx+cy, sedangkan (2) ⇔ (3) diperoleh dari bagian (3) Teorema 1.1 yang menyatakan jika a|b dan a|c maka a|(bx + cy),
di mana x, y ∈ Z. Karena a|(bx + cy) dan g=bx+cy maka a|g.
5. Teorema 1.5
Misalkan b1, b2, …, bn ∈ Z tidak semuanya nol. Jika g = (b1, b2, …, bn), maka terdapat x1, x2, …, xn ∈ Z sedemikian rupa sehingga
g = b1x1 + b2x2 + … + bnxn
dan ketiga pernyatan berikut ekuivalen:
(1) g = (b1, b2, …, bn);
(2) g adalah bilangan positif terkecil dalam H ={∑_(i=1)^n▒〖bi xi∈ Z |xi〗 ∈ Z};
(3) Jika a ∈ Z dengan a|b1, a|b2, …, a|bn, maka a|g.
Bukti:
Misalkan g = (b1, b2, …, bn) dan g adalah bilangan positif terkecil dalam H={∑_(i=1)^n▒〖bi xi∈ Z |xi〗∈ Z}.
Misalkan a |b_i, artinya terdapat x_i ∈ Z. sedemikian sehingga b_i=ax_iuntuk beberapa bilangan bulat x_i=(1,2,3,..,n).Karena b_i=ax_i , maka b_1 x_1+b_2 x_2+b_3 x_3+⋯+b_n x_n=ax_1+ax_2+ax_3+⋯+ax_n=a(x_1+x_2+x_3+⋯+x_n). Dalam hal ini, karena (x_1+x_2+x_3+⋯+x_n ) ∈ Z sedemikian sehingga b_1 x_1+b_2 x_2+b_3 x_3+⋯+b_n x_n=a(x_1+x_2+x_3+⋯+x_n ) maka a|(b_1 x_1+b_2 x_2+b_3 x_3+⋯+b_n x_n). Dilain pihak karena g = (b_1 x_1+b_2 x_2+b_3 x_3+⋯+b_n x_n), imi artinya a|g.
Misalkan g, b, c ∈ Z dengan g ≥ 0. Ketiga pernyataan berikut ekuivalen:
(1) g = (b, c);
(2) g adalah bilangan positif terkecil dalam H = {bx + cy ∈ Z | x, y ∈ Z};
(3) Untuk setiap a ∈ Z, jika a|b dan a|c, maka a|g.
Bukti:
(1) ⇔ (2) adalah bagian dari bukti Teorema 1.3. yaitu g=bx+cy, sedangkan (2) ⇔ (3) diperoleh dari bagian (3) Teorema 1.1 yang menyatakan jika a|b dan a|c maka a|(bx + cy),
di mana x, y ∈ Z. Karena a|(bx + cy) dan g=bx+cy maka a|g.
5. Teorema 1.5
Misalkan b1, b2, …, bn ∈ Z tidak semuanya nol. Jika g = (b1, b2, …, bn), maka terdapat x1, x2, …, xn ∈ Z sedemikian rupa sehingga
g = b1x1 + b2x2 + … + bnxn
dan ketiga pernyatan berikut ekuivalen:
(1) g = (b1, b2, …, bn);
(2) g adalah bilangan positif terkecil dalam H ={∑_(i=1)^n▒〖bi xi∈ Z |xi〗 ∈ Z};
(3) Jika a ∈ Z dengan a|b1, a|b2, …, a|bn, maka a|g.
Bukti:
Misalkan g = (b1, b2, …, bn) dan g adalah bilangan positif terkecil dalam H={∑_(i=1)^n▒〖bi xi∈ Z |xi〗∈ Z}.
Misalkan a |b_i, artinya terdapat x_i ∈ Z. sedemikian sehingga b_i=ax_iuntuk beberapa bilangan bulat x_i=(1,2,3,..,n).Karena b_i=ax_i , maka b_1 x_1+b_2 x_2+b_3 x_3+⋯+b_n x_n=ax_1+ax_2+ax_3+⋯+ax_n=a(x_1+x_2+x_3+⋯+x_n). Dalam hal ini, karena (x_1+x_2+x_3+⋯+x_n ) ∈ Z sedemikian sehingga b_1 x_1+b_2 x_2+b_3 x_3+⋯+b_n x_n=a(x_1+x_2+x_3+⋯+x_n ) maka a|(b_1 x_1+b_2 x_2+b_3 x_3+⋯+b_n x_n). Dilain pihak karena g = (b_1 x_1+b_2 x_2+b_3 x_3+⋯+b_n x_n), imi artinya a|g.
6. Teorema 1.6.
Untuk setiap m ∈ Z dengan m > 0, berlaku
(ma, mb) = m(a, b).
Bukti:
Dari bagian (2) Teorema 1.4, diperoleh
(ma, mb)= bilangan positif terkecil dari semua bentuk max + mby;
= m•( bilangan positif terkecil dari semua bentuk ax + by);
= m(a, b)
Untuk setiap m ∈ Z dengan m > 0, berlaku
(ma, mb) = m(a, b).
Bukti:
Dari bagian (2) Teorema 1.4, diperoleh
(ma, mb)= bilangan positif terkecil dari semua bentuk max + mby;
= m•( bilangan positif terkecil dari semua bentuk ax + by);
= m(a, b)
7. Teorema 1.7.
Jika d|a dan d|b dan d > 0, maka ( a/d+b/d)=1/d(a,b)
Lebih jauh, jika g = (a, b) maka ( a/g+b/g)=1
Bukti:
Pada Teorema 1.6, ganti m, a dan b masing-masing dengan d, a/d dan b/d dan kemudian
bagi kedua ruas dengan d.
Jika d|a dan d|b dan d > 0, maka ( a/d+b/d)=1/d(a,b)
Lebih jauh, jika g = (a, b) maka ( a/g+b/g)=1
Bukti:
Pada Teorema 1.6, ganti m, a dan b masing-masing dengan d, a/d dan b/d dan kemudian
bagi kedua ruas dengan d.
( a/d+b/d)=1/d(a,b)………(1)
Setelah itu ganti d dengan g = (a, b) diperoleh:
Setelah itu ganti d dengan g = (a, b) diperoleh:
( a/g+b/g)=1/((a,b) ) (a,b )
( a/g+b/g)=1
( a/g+b/g)=1
Beberapa Uji Keterbagian Bilangan Bulat
Untuk menguji suatu bilangan bulat
dapat dibagi (habis dibagi) atau tidak dapat dibagi oleh bilangan bulat lain
kita dapat menggunakan kalkulator atau dengan metode pembagian cara panjang.
Meskipun demikian, kita akan menggungkap cara lain untuk menguji keterbagian
beberapa bilangan bulat. Sebagai contoh, kita akan menentukan apakah 1734 habis
dibagi oleh 17. Untuk keperluan ini, perhatikan langkah-langkah berikut ini:
1734 = 1700 + 34
Karena 171700 dan 1734, menurut sifat
keterbagian, 17(1700 + 34), atau 171734. Dengan cara yang sama, kita dapat
menentukan bahwa 171735.
Untuk menentukan apakah sustu
bilangan bulat n dapat dibagi (habis dibagi) oleh bilangan bulat lain d, kita
pertimbangkan bahwa n sebagai jumlah atau selisih dua bilangan-bilangan bulat
di mana d paling sedikit dapat membagi satu dari bilangan-bilangan bulat itu.
Sebagai contoh, tentukan apakah 358 habis dibagi oleh 2. Jelas sekali bahwa 358
dapat dibagi oleh 2 karena 358 adalah bilangan genap. Hal ini karena digit
satuannya 2. Selanjutnya perhatikan yang berikut ini:
358 = 350 + 8
= 35(10) + 8
Kita mengetahui bahwa 210 sehingga
235(10), dan 28 yang mengakibatkan 2(35(10) + 8). Karena 2 membagi sebarang
bilangan berkelipatan 10, untuk menentukan apakah suatu bilangan dapat dibagi
oleh 2 cukup dengan memperhatikan apakah digit satuannya dapat dibagi oleh 2.
Jika digit satuannya tidak dapat dibagi oleh 2 maka bilangan itu tidak dapat
dibagi oleh 2.
Kita dapat mengembangkan uji serupa
ini untuk keterbagian oleh 5 dan 10. Secara umum, kita mempunyai aturan-aturan
keterbagian sebagai berikut:
Uji keterbagian oleh 2.
Suatu bilangan bulat dapat dibagi
oleh 2 jika dan hanya jika digit satuannya dapat dibagi oleh 2.
Uji keterbagian oleh 5.
Suatu bilangan bulat dapat dibagi
oleh 5 jika dan hanya jika digit satuannya dapat dibagi oleh 5. Hal ini berarti
bahwa digit satuannya adalah 0 atau 5.
Uji keterbagian oleh 10.
Suatu
bilangan bulat dapat dibagi oleh 10 jika dan hanya jika digit satuannya dapat
dibagi oleh 10. Hal ini berarti bahwa digit satuannya adalah 0.
Selanjutnya kita akan memperhatikan
aturan keterbagian oleh 4 dan 8. Kita tahu bahwa 410 dan 810 sehingga tidak
tepat jika kita digit satuan untuk keterbagian oleh 4 dan 8. Tetapi 4 atau 22
dapat membagi 102, dan 8 atau 23 dapat membagi 103.
Pertama kita akan mengembangkan suatu
aturan keterbagian oleh 4. Perhatikan empat digit bilangan n sebarang,
sedemikian sehingga n = a.103 + b.102 + c.10 + d. Kita tahu bahwa 4102 karena
102 = 4 . 25 dan akibatnya 4103. Karena 4102, 4b.102 dan 4a.103. Akhirnya,
4b.102 dan 4a.103 memberikan implikasi 4(a.103 + b.102). Sekarang, keterbagian
n = a.103 + b.102 + c.10 + d oleh 4 tergantung pada keterbagian (c.10 + d) oleh
4. (c.10 + d) merupakan bilangan yang ditampilkan oleh dua digit terakhir pada
bilangan bulat n yang diberikan. Kita rangkum hal ini di dalam uji berikut ini.
Uji keterbagian oleh 4
Suatu bilangan bulat dapat dibagi
oleh 4 jika dan hanya jika dua digit terakhirnya menyatakan bilangan yang dapat
dibagi oleh 4.
Untuk menyelidiki suatu bilangan
bulat dapat dibagi oleh 8, kita telah mengetahui bahwa pangkat terkecil dari 10
yang dapat dibagi oleh 8 adalah 10. Karena 10 = 8 . 125. Akibatnya, untuk
setiap bilangan bulat n dan n 3, 10n juga dapat dibagi oleh 8. Berikut ini uji
keterbagian oleh 8.
Uji keterbagian oleh 8
Suatu bilangan bulat dapat dibagi
oleh 8 jika dan hanya jika tiga digit terakhirnya menyatakan bilangan yang
dapat dibagi oleh 8.
Berikut ini adalah beberapa contoh
penggunaan uji keterbagian oleh 2, uji keterbagian oleh 4, dan uji keterbagian
oleh 8.
Contoh1.
a. Tentukan
apakah 97128 dapat dibagi oleh 2, 4, dan 8.
b. Tentukan apakah 83026 dapat dibagi
oleh 2, 4, dan 8.
Jawab.
a. 2 97128 karena 2 8.
4 97128 karena 4 28.
8 97128 karena 8 128.
b. 2 83026 karena 2 6.
4 83026
karena 4 26.
8 83026 karena 4 026.
Selanjutnya, kita perhatikan
keterbagian suatu bilangan bulat oleh 3. Tidak ada pangkat dari 10 yang dapat
dibagi oleh 3, tetapi bilangan-bilangan 9, 99, 999, dan yang sejenisnya adalah
dekat dengan bilangan pangkat ari 10 dan dapat dibagi oleh 3. Kita tulis
kembali bilangan-bilangan yang menggunakan 999, 99, dan 9 sebagai berikut:
5721 = 5 . 103 + 7 . 102 + 2 . 10 + 1
= 5(999 + 1) + 7(99 +1) + 2(9 + 1) +
1
= 5 . 999 + 5 . 1 + 7 . 999 + 7 . 1 +
2 . 9 + 2 . 1 + 1
= (5 . 999 + 7 . 99 + 2 . 9) + ( 5 +
7 + 2 + 1)
Jumlah dari bilangan-bilangan yang
ada dalam kurung pertama dapat dibagi oleh 3. Jadi keterbagian 5721 oleh 3
tergantung pada jumlah bilangan-bilangan yang ada di dalam kurung ke dua. Di
dalam kasus ini, 5 + 7 + 2 + 1 = 15 dan 3 15. Jadi 3 5721. Dengan demikian,
untuk memeriksa apakah 5721 dapat dibagi oleh 3, kita cukup memeriksa apakah 5
+ 7 + 2 + 1 dapat dibagi oleh 3. Contoh ini membawa kita pada uji keterbagian
oleh 3 sebagai berikut.
Uji keterbagian oleh 3
Suatu bilangan bulat dapat dibagi oleh
3 jika dan hanya jika jumlah digit-digitnya merupakan bilangan yang dapat
dibagi oleh 3.
Kita dapat menggunakan argumen yang
serupa untuk digunakan membuktikan keterbagian suatu bilangan bulat oleh 3,
khususnya bilangan bulat bilangan bulat yang mempunyai 4 digit, n = a . 103 + b
. 102 + c . 10 + d.
Karena a . 999 + b . 99 + c . 9 + d
dekat ke n dan dapat dibagi oleh 3, kita peroleh sebagai berikut:
a . 103 + b . 102 + c . 10 + d = a .
1000 + b . 100 + c . 10 + d
= a(999 + 1) + b(99 + 1) + c(9 + 1) +
d
= (a . 999 + b . 99 + c . 9) + (a . 1
+ b . 1 + c . 1)
= (a . 999 + b . 99 + c . 9) + (a + b
+ c)
Karena 3 999, 3 99, dan 3 9, 3 (a .
999 + b . 99 + c . 9).
Jika 3 (a + b + c) maka 3 ((a . 999 +
b . 99 + c . 9) + (a + b + c)). Hal ini berarti 3 n. Di lain pihak, jika 3 (a +
b + c) maka 3 ((a . 999 + b . 99 + c . 9) + (a + b + c)). Hal ini berarti 3 n
Karena 9 9, 9 99, 9 999, dan
seterusnya dengan uji yang serupa dengan uji keterbagian suatu bilangan bulat
oleh 3, kita dapat menentukan keterbagian suatu bilangan bulat oleh 9
Uji
keterbagian oleh 9
Suatu bilangan bulat dapat dibagi
oleh 9 jika dan hanya jika jumlah dari digit-digitnya merupakan bilangan yang
dapat dibagi oleh 9.
Contoh 2.
a. Tentukan
apakah 1002 dapat dibagi oleh 3 dan dapat dibagi oleh 9.
b. Tentukan apakah 14238 dapat dibagi
oleh 3 dan dapat dibagi oleh 9.
Jawab.
a. Karena 1 + 0 + 0 + 2 = 3 dan 3 3,
akibatnya 3 1002.
Karena 9 3, akibatnya 9 1002.
b. Karena 1 + 4 + 2 + 3 + 8 = 18 dan
3 18, akibatnya 3 14238.
Karena 9 18, akibatnya 9 14238.
Selanjutnya akan kita perhatikan uji
keterbagian suatu bilangan bulat oleh 7, oleh 11, dan oleh 6, yaitu sebagai
berikut:
Uji keterbagian oleh 7
Suatu bilangan bulat dapat dibagi
oleh 7 jika dan hanya jika bilangan yang dinyatakan tanpa digit satuannya
dikurangi dua kali unit satuan asalnya, dapat dibagi oleh 7.
Uji keterbagian oleh 11
Suatu bilangan bulat dapat dibagi
oleh 11 jika dan hanya jika jumlah digit-digit yang berada pada pangkat genap
dari 10 dikurangi jimlah digit-digit yang berada pada pangkat ganjil dari 10,
dapat dibagi oleh 11.
Uji keterbagian oleh 6
Suatu bilangan bulat dapat dibagi
oleh 6 jika dan hanya jika bilangan itu dapat dibagi oleh 2 dan 3.
Contoh 3.
a. Tentukan
apakah 8471986 dapat dibagi oleh 11.
b. Tentukan
apakah 462 dapat dibagi oleh: (i) 7, (ii)11, dan (iii) 6.
c. Tentukan apakah 875 dapat dibagi
oleh: (i) 7, (ii)11, dan (iii) 6.
Jawab.
a. (6 + 9 + 7 + 8) – (8 + 1 + 4) =
17.
Karena 11 17, kita simpulkan 11
8471986.
b.
(i) 46 – 2 . 2 = 42 dan 7 42.
Jadi, 7 462.
(ii) (2 + 4) – 6 = 0 dan 11 0
Jadi, 11 462.
(iii)2 462 dan 3 462.
Jadi 6 462.
c.
(i) 87 – 2 . 5 = 77 dan 7 77
Jadi 7 875
(ii) (5 + 8) – 7 = 6 dan 11 6
Jadi, 11 875.
(iii)2 875 karena 875 bilangan
ganjil.
Jadi 6 875.
Rangkuman
1. Suatu
bilangan bulat dapat dibagi oleh 2 jika dan hanya jika digit satuannya dapat
dibagi oleh 2.
2. Suatu
bilangan bulat dapat dibagi oleh 5 jika dan hanya jika digit satuannya dapat
dibagi oleh 5. Hal ini berarti bahwa digit satuannya adalah 0 atau 5.
3. Suatu
bilangan bulat dapat dibagi oleh 10 jika dan hanya jika digit satuannya dapat
dibagi oleh 10. Hal ini berarti bahwa digit satuannya adalah 0.
4. Suatu
bilangan bulat dapat dibagi oleh 4 jika dan hanya jika dua digit terakhirnya
menyatakan bilangan yang dapat dibagi oleh 4.
5. Suatu
bilangan bulat dapat dibagi oleh 8 jika dan hanya jika tiga digit terakhirnya
menyatakan bilangan yang dapat dibagi oleh 8.
6. Suatu
bilangan bulat dapat dibagi oleh 3 jika dan hanya jika jumlah digit-digitnya
merupakan bilangan yang dapat dibagi oleh 3.
7. Suatu
bilangan bulat dapat dibagi oleh 9 jika dan hanya jika jumlah dari
digit-digitnya merupakan bilangan yang dapat dibagi oleh 9.
8. Suatu bilangan bulat dapat dibagi
oleh 7 jika dan hanya jika bilangan yang dinyatakan tanpa digit satuannya
dikurangi dua kali unit satuan asalnya, dapat dibagi oleh 7.
9. Suatu
bilangan bulat dapat dibagi oleh 11 jika dan hanya jika jumlah digit-digit yang
berada pada pangkat genap dari 10 dikurangi jimlah digit-digit yang berada pada
pangkat ganjil dari 10, dapat dibagi oleh 11.
10. Suatu bilangan bulat dapat dibagi
oleh 6 jika dan hanya jika bilangan itu dapat dibagi oleh 2 dan 3.
Uji Kompetensi
Lingkarilah salah satu jawaban yang
menurut anda benar.
1. Pernyataan
yang benar adalah
a. 3746988
b. 9746988
c. 5746988
d. 7746988
2. Pernyataan
yang benar adalah
a. 11183320
b. 9183320
c. 7183320
d. 5183320
3. Pernyataan
yang benar adalah
a. 1117171
b. 917171
c. 717171
d. 517171
4. Pernyataan
yang benar adalah
a. 3100011
b. 5100011
c. 7100011
d. 9100011
5. Pernyataan
yang benar adalah
a. 119339
b. 119393
c. 113939
d. 119333
6. Pernyataan
yang benar adalah
a. 1112321
b. 1112345
c. 1154321
d. 1112312
7. Jika 985mn1
maka m dan n berturut-turut adalah
a. 1 dan 6
b. 1 dan 5
c. 1 dan 4
d. 1 dan 3
8. Jika 374n
maka n adalah
a. 1
b. 3
c. 5
d. 9
9. Jika 983n45
maka n adalah
a. 4
b. 5
c. 6
d. 7
10. Jika 116n55
maka n adalah
a. 6
b. 7
c. 8
d. 9
